מדריך מעמיק למשתנים היוונים של סחר באופציות

היוונים

היוונים - דלתא, גמא, תטא, וגה ורו - הם חמישה משתנים המסייעים בזיהוי הסיכונים של מיקום אופציה.

הסיכונים שעומדים בפני משקיעים באופציות אינם חד-ממדיים. על מנת להתמודד עם שינויים בתנאי השוק, על המשקיע להיות מודע לגודל השינויים הללו. כדי לראות אם השינויים הם גדולים או קטנים, בין אם הם יוצרים סיכון גדול או מינורי, תיאוריית האופציות ותמחור אופציות מספקים למשקיעים משתנים המזהים את מאפייני הסיכון של עמדת האופציה שלהם. משתנים אלה מכונים היוונים. ישנם חמישה יוונים שאנו מפקחים עליהם: דלתא, גמא, תטא, וגה ורו.

מכיוון שהיוונים הם נגזרים של נוסחת Black & Scholes, נתחיל להסביר עוד על כך.

Black & Scholes

הנוסחה Black and Scholes, המכונה לפעמים נוסחת Black, Scholes and Merton, היא הכלי הסטנדרטי בשוק לאפשרויות תמחור. נוסחה זו מתמחרת אופציה כפונקציה ממחיר המניות הנוכחי S ₀, הזמן לפדיון האופציה T, שביתה X, התנודתיות σ ושיעור הריבית r:

call = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) עם

כאשר N (x) היא פונקציית ההתפלגות הנורמלית המצטברת עבור ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, כלומר ההסתברות שמשתנה אקראי ~ N (0,1) (עם התפלגות נורמלי רגילה) קטן מ- x.

לפני שנדון בנוסחה, נניח את ההנחות הבסיסיות. הנוסחה של Black and Scholes מניחה:

• החזרות הן IID (עצמאיות ומופצות זהה) עם התפלגות נורמלית.
• התנודתיות העתידית ידועה וקבועה.
• ריבית עתידית ידועה, קבועה, וזהה גם בהלוואות והלוואות.
• מסלול המניות הוא רציף, ומסחר רציף אפשרי.
• עלויות העסקה הן אפסיות.

כדי לפתח את התיאוריה אנו מניחים שכל ההנחות הללו מתקיימות. נוסחה זו היא תקן השוק מכיוון שהיא חזקה ביותר ביחס להפרות הנחותיה.

דֶלתָא

היוונית הראשונה שתידון בה היא הדלתא. בעיקרון הדלתא היא הרגישות של הערך התיאורטי של האופציה לשינוי במחיר החוזה הבסיסי. פשוט יותר, הדלתא היא שינוי ערך האופציה כאשר הערך הבסיסי עולה בדולר אחד. לדוגמה:

Δ _קריאה = ∂c / ∂S = N (d ₁) ו- Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

עם N (d ₁) כמו בנוסחת BS.

הערך של אופציית רכש עולה כאשר מחיר המניה עולה, כך שהדלתא של אופציית רכש חיובית. לעומת זאת ערכה של אופציית מכירה יורד כאשר מחיר המניה עולה, כך שהדלתא של אופציית המכירה שלילית.

אפשר לציין ש- N (x) היא פונקציית צפיפות הסתברות, ולכן היא לוקחת ערך. הדלתא של שיחה אחת נמצאת אז תמיד והדלתא של אחת נכנסת. מכיוון שהרמה הבסיסית היא בדרך כלל 100 מניות הדלתא של האופציה מוכפלת ב- 100. לדוגמא אופציה עם דלתא של 0.25 נחשבת לדלתא 25. ככל שהדלתא גבוהה יותר כך שינוי ערך האופציה יהיה דומה יותר. להיות למניה הבסיסית. ערך האופציה עם דלתא 100 ינוע בדיוק באותו שיעור כמו המניה הבסיסית. שים לב גם כי פעולת הנגזרת היא לינארית כך שנוכל לחשב דלתא של כל אפשרות ולסכם אותן כדי לקבל דלתא של כל התיק (אז זה יכול להיות מחוץ כמובן).

כאשר אפשרות מתקרבת לפקיעה, הדלתא שלה תשתנה, שכן הסבירות לפג בתוך הכסף או לצאת ממנו משתנה וההתפלגות הנורמלית מצטמצמת וממוקדת סביב הממוצע. ככל שאופציה מתקרבת לתום, אפשרויות הכסף יעברו לכיוון דלתא 100 ואופציות מחוץ לכסף יעברו לכיוון דלתא 0. לעומת זאת, אפשרויות הכסף יישארו סביב דלתא. 50.

כאשר המניה הבסיסית משתנה במחיר, גם דלתא משתנה. זה צפוי שכן d ₁ הוא פונקציה של מחיר המניה.

דלתא של שיחה

פרשנות מעשית לדלתא היא יחס הגידור: כמות המניות שיש לקנות או למכור כדי לנטרל את הסיכון המכוון של אופציה. מנוסחת BS אנו יכולים לראות פרשנות אחרת. באופן גס, אנו יכולים לומר שהדלתא של אופציה היא הסיכוי שלה לפוג בכסף. (ליתר דיוק ניקח ערך מוחלט). קירוב זה פועל רק עבור אפשרויות אירופיות.

לסיכום, ישנם שלושה פירושים לדלתא:

1. השינוי בערך האופציה אם הבסיס עולה בעלות של דולר אחד.
2. יחס הגידור: מספר המניות שיירכשו או ימכרו כדי לנטרל את הסיכון הכיווני של הפוזיציה.
3. הסיכוי שהאופציה תהיה בתוך הכסף בתום התפוגה

→ שיחות OTM: דלתא נוטה ל -0 כאשר אנו מתקרבים לתום.

→ שיחות ITM: דלתא נוטה ל 100 ככל שעובר הזמן.

דלתא של מכירה לעומת מחיר בסיסי

דלתא לעומת תנודתיות

ככל שהתנודתיות גוברת (פוחתת) הדלתא של השיחה הולכת לכיוון (הרחק מ- 0.50) והדלתא של הכיוון לכיוון (הרחק מ-) -0.50. כך שאם התנודתיות עולה (פוחתת) הדלתא של באופציית הכסף פוחתת (עולה). במקרה של אפשרות מחוץ לכסף, זה בדיוק ההפך.

דלתא מול זמן

ככל שהזמן מתפרק, הדלתא של השיחה מתרחקת מ- 0.50 והדלתא של ה- put הרחק מ -0.50. ככל שעובר הזמן, הדלתא של שיחת הכסף נעה לכיוון 1 והדלתא של מחוץ לכסף לכיוון 0.

גמא

גאמה היא הנגזרת של דלתא כפונקציה של מחיר המניה. מכיוון שדלתא היא הנגזרת של ערך האופציה כפונקציה של המניה הבסיסית, גמא הוא שינוי הדלתא כאשר מחיר המניה עולה בדולר אחד. כתוב כדלקמן:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

עם d ₁ כמו בנוסחת BS ו- N 'הנגזרת הראשונה של פונקציית הצפיפות המצטברת הגאוסית, כלומר הצפיפות הגאוסית הרגילה:

גמא מול מחיר מניות, גמא מול זמן

לעתים קרובות אומרים שגאמה מגיעה לערכה המרבי כאשר אפשרות היא כספומט. זה נכון כקירוב ראשון, עם זאת, המקסימום האמיתי מושג כאשר מחיר המניה הוא מעט מתחת למחיר המימוש. השפעה זו מוצגת בחלק השמאלי של האיור לעיל למסחר במניות במחיר של 100 דולר. בהתחשב שביתה X, התנודתיות σ, R קצב, ועת התפוגה T, ערך המניות נותן גמא המרבי הוא S _{מקס Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

עקומת הגמא של שיחה ופוט זהים. זה עולה בקנה אחד עם מה שאמרנו על שיחות ומכניס באופן כללי כמו גם גאמא בפרט עד כה.

ככל שמועד התפוגה פוחת, הגמא והתטא של אפשרויות הכסף גדלים. רגע לפני התפוגה, משתנים אלה יכולים להיות גדולים באופן דרמטי.

גמא מול זמן

כפי שמראה האיור לעיל, הגרף מצטמצם אך המשטח הכולל שמתחת לגרף נותר ללא שינוי. כתוצאה מכך, הגרף מקבל צמרת גבוהה בהרבה. החלק העליון העליון מסמל את הגידול בגמא ובתטא ככל שהזמן לתפוגה פוחת.

בגלל ההתנהגות של שיחות ITM, ATM ו- OTM, אנו רואים כי עקומת הדלתא תתחזק סביב השביתה ככל שמתקרב התפוגה. לכן, הגמא תגדל עבור אפשרות הכספומט ככל שיעבור הזמן. עם זאת, זה לא נכון לגבי אפשרויות OTM ו- ITM.

גאמה היא פרמטר סיכון חשוב מכיוון שהוא קובע כמה כסף אנו יכולים להרוויח או להפסיד בתיק הדלתא-ניטראלי שלנו כאשר מחיר המניה משתנה. בדוגמה הבאה נעריך את המק"ש של מיקום אופציה כתוצאה מתנועת הבסיס. נניח גמא קבועה של 2.7, כך שהדלתא משתנה ב -2.7 לדולר בתנועה של הבסיס.

נניח שנקנה את השיחה 80 פעם 1000 ב 5.52 עם מחיר מניה של 79 דולר. כדי להיות ניטרלי דלתא, עלינו למכור 51,100 מניות. מחיר המניה מתפתח באופן הבא:

t =	מחיר מניה
0	79
1	84
2	76
3	79

ב- t = 1 ו- t = 2, אני מכוונן מחדש את הגידור שלי כדי להיות נייטרלי דלתא. ב- t = 3, אני סוגר את עמדתי.

שלוש דרכים לחישוב שינוי הערך של מיקום

להלן שלוש דרכים לחישוב השינוי בערך המיקום שלנו, הראשונה באמצעות תזרים מזומנים, השנייה באמצעות דלתא והשלישית באמצעות גמא.

1. חישוב רווח באמצעות תזרים מזומנים

ראשית נסתכל על תזרימי המזומנים, כפי שמוצג בטבלה שלהלן. העמודה השנייה מציגה את תזרימי המזומנים הקשורים לשיחה והשלישית הקשורה למיקום המניות שלי. השורה האחרונה מסכמת את כל:

אז בסופו של דבר אנחנו מרוויחים 132,300. אם אנחנו אופציות ארוכות ולכן יש לנו עמדת גמא ארוכה עלינו לקנות מניות אם מחיר המניה יורד ולמכור מניות אם מחיר המניה עולה (לקנות נמוך, למכור גבוה), אז אנחנו תמיד מרוויחים אם המניה זזה. בדוק בעצמך שזה תקף גם לשיחות וגם לשיחות.

2. חישוב רווח באמצעות דלתא

אנו שוקלים כעת דרך שנייה לחישוב הרווחים. העסקאות זהות, רק חישוב הרווח שונה. בשיטה זו אנו רואים בו זמנית את האופציה ואת עמדת המניות. יש לנו את המניה כגידור לאופציה, אז בואו ניקח בחשבון את עמדת הדלתא הכוללת. אנחנו מתחילים דלתא ניטראלית. ואז המניה עוברת, אנחנו צוברים דלתות. (אנו מחשבים את הדלתות שאנו צוברים בעזרת ההפרש בין שתי דלתות נתונות לערכי המניות ההתחלתיים והסיומיים הנתונים. כדי לקבל את הדלתא הממוצעת במהלך המהלך אנו לוקחים ערך זה חלקי שניים). התיק עולה בשווי בהתאם לדלתותיו כמוסבר להלן.

במקרה זה אנו משתמשים בשיטת הדלתא הממוצעת. כלומר, אנחנו:

• חישוב מיקום הדלתא הממוצע במהלך המניה.
• הכפל זאת במרווח לחישוב הרווח.

בזמן t אנו מגדרים כך שאנחנו קונים / מוכרים מניות כדי שדלתא תהיה ניטרלית שוב.

בואו נסתכל על זה ביתר תשומת לב:

• ב- t = 0, נסחרת במניות 79, אנו מתחילים מיקום ניטרלי דלתא, כלומר יש לנו 51,100 מניות
• לפי t = 1, נסחרת המניות 84. דלתא של עמדת האופציה היא 64.6 * 1000 (מאופציות) -51100 (ממניות). בין t = 0 ל- t = 1, עמדת הדלתא שלי עברה מ- 0 ל 13,500. הדלתא הממוצעת שלי למהלך הייתה אז (13,500 + 0) / 2 = 6750 (6.75 לשיחה). כדי לחשב את ה- PnL של המיקום שלי אני מכפיל את הדלתות האלה בכמות מהלך המניות: 6570 * 5 = 33,750 דולר. כדי לממש את הרווח הזה, אני צריך למכור מניות כדי להיות ניטראליות דלתא.
• לפי t = 2, נסחרת במניות 76. דלתא של מיקום האופציה שלי היא 43.0 * 1000 ודלתא של מיקום המניות שלי היא -64600…

דוגמה לחישוב רווח באמצעות גמא.

3. חישוב רווח באמצעות גמא

בדוגמה שלעיל, חישבנו את מיקום הדלתא הממוצע על ידי לקיחת הממוצע של מיקום הדלתא ההתחלתי ומיקום הדלתא הסופי. ניתן להשיג זאת גם באמצעות הגמא, מכיוון שהגמא מגדיר את שינוי הדלתא לדולר.

הבה נבהיר כיצד:

• ב- t = 0, נסחרת המניות 79, דלתא ניטראלית, גמא היא 2,700.
• ב- t = 1 נסחרת המניה ב 84. המניה הועברה ב -5, כך שמיקום הדלתא החדש שלי הוא 5 * 2,700. בתחילת המהלך הדלתא שלי הייתה 0, כך שהדלתא הממוצעת שלי היא 5 * 2,700 / 2. המניה עברה ב -5 אז התיק צבר 5 * דלתא ממוצעת = 5 * 5 * 2,700 / 2. תיק מגודר כך שהדלתא תהיה שוב 0. אנו מכנים זאת "קרקפת הגמא". מיקום גמא ארוך מאפשר לך לקנות נמוך ולמכור גבוה.
• ב- t = 2 נסחרת המניות 76. זהו מהלך של 8 דולר, עמדת הדלתא החדשה שלי היא 8 * 2700…

אפשר להשתמש בנוסחה הגנרית הבאה אם ​​נתחיל מתיק ניטרלי דלתא:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2